SEMANA11- DERIVADAS CONCEPTO Y APLICACIONES

  


DERIVADAS:CONCEPTO Y ANÁLISIS


Las derivadas en matemáticas, específicamente en el cálculo diferencial, representan la tasa de cambio instantánea de una función. Se utilizan para analizar el comportamiento de las funciones, identificar sus máximos y mínimos, determinar la concavidad y más. 


Concepto:

  • La derivada de una función describe cómo cambia el valor de la función cuando su variable independiente se modifica ligeramente. 
  • Geométricamente, la derivada representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto específico. 
  • Matemáticamente, la derivada se calcula como un límite, utilizando la definición de la derivada: f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h, donde f'(x) es la derivada de la función f(x) en el punto x












A esta tasa instantánea de cambio se la conoce como DERIVADA.




IMPORTANTE

La derivada de una función en un punto es 
el valor de la pendiente de la recta tangente en ese punto.
Se dice que una función es derivable en un punto 
si es continua en ese punto


Sea la f(x)=x2+x su derivada se la expresa f´(x)=2x+1, se lee la función derivada o la derivada de la función es igual a…

También se la expresa dy/dx=2x+1, en este caso se lee la derivada de y con respecto a x es igual a…


Otra forma es la siguiente: d/dx (x2+x)=2x+1 se lee la derivada de la función equis al cuadrado más equis es igual…





EN CONCLUSIÓN:


EJERCITAMOS: 

En cada caso calcule la derivada primera y segunda, indique los puntos críticos y si habrá mínimos y máximos en dicha función

EJERCICIO 1:





EJERCICIO 2:





RESPUESTAS:

EJERCICIO 1:








































EJERCICIO 2:































DERIVADA SEGUNDA

La derivada segunda se utiliza para identificar y caracterizar los máximos y mínimos de una función, determinando su concavidad. Si la segunda derivada en un punto crítico (donde la primera derivada es cero) es positiva, indica un mínimo local, y si es negativa, indica un máximo local. Si la segunda derivada es cero, se necesita un análisis adicional para determinar si es un punto de inflexión, máximo o mínimo.
En detalle:
      1. Primera derivada (f'(x)):
  1. Indica el punto en el que la función cambia de creciente a decreciente o viceversa, es decir, los puntos donde la función tiene un máximo o mínimo local.

  3. 2. Segunda derivada (f''(x)):
  4. Indica la concavidad de la función. Si es positiva en un punto crítico, la función es cóncava hacia arriba, lo que significa que tiene un mínimo local. Si es negativa, la función es cóncava hacia abajo, lo que indica un máximo local. 

  6. 3. Criterio de la segunda derivada:
  7. Para usar este criterio, se evalúa la segunda derivada en los puntos críticos de la función (donde f'(x) = 0).
    • Si f''(x) > 0, hay un mínimo local.
    • Si f''(x) < 0, hay un máximo local.
    • Si f''(x) = 0, se necesita un análisis adicional para determinar si es un punto de inflexión, máximo o mínimo, utilizando la primera derivada o la prueba de concavidad. 
  8. En resumen: La segunda derivada proporciona información crucial sobre la concavidad de la función y, por lo tanto, permite clasificar los puntos críticos (máximos y mínimos) de la función. 

EJERCITACIÓN 

1. Calcule la función pendiente y los máximos o mínimos aplicando derivadas, para la función 
  Y=X3+5



2. Resuelva la derivada primera de:




3.Calcule la función pendiente y los máximos o mínimos aplicando derivadas, 
para la función:






4.Calcule la función pendiente y los máximos o mínimos aplicando derivadas, 
para la función:






5.Calcule la función pendiente y los máximos o mínimos aplicando derivadas, 
para la función:

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