SEMANA3- FUNCIÓN LINEAL y CUADRÁTICA

FUNCIONES: 

Repasamos lo visto en las clases anteriores:

Ayuda: comience haciendo una tabla y asígnele valores, grafique y luego escriba al dominio, la imagen y si es función.

FUNCIONES: tipos

Algunos conceptos para tener en cuenta que serán de utilidad para la materia:

• FUNCIÓN INYECTIVA: A cada elemento del conjunto de llegada le corresponde como MÁXIMO a UNO del conjunto de partida.
• FUNCIÓN SUYERTIVA O SOBREYECTIVA:A cada elemento del conjunto de llegada le corresponde POR LO MENOS UNO del conjunto de partida. 
• FUNCIÓN BIYECTIVA: Si es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.
• FUNCIÓN POLINÓMICA:

Polinomio: Los polinomios son sumas de términos de la forma k⋅xⁿ, donde k es cualquier número y n es un entero positivo. Por ejemplo, 3x+2x-5 es un polinomio.

Se llama función polinómica a toda aquella que está definida por medio de polinomios. 

• FUNCIÓN INTERVALO: Estas son funciones definidas por más de una ecuación, ya que toman distintas formas matemáticas dentro de intervalos de valores del dominio. Son muy usadas en la administración, en los impuestos y tasas, por ejemplo hasta cierto monto de facturación se paga un determinado monto, desde un monto hasta…., el impuesto tiene un determinado valor.

• FUNCIÓN COMPUESTA: Son funciones que a su vez son funciones de otras, por ejemplo el ingreso de dinero en un negocio es función de la cantidad de productos vendidos, pero estos a su vez es una función de la cantidad de vendedores. Donde vemos que aplicamos la función elevado al cubo a una función lineal.
• f(X) = (3X+3)3

• FUNCIÓN RACIONAL: Cuando tenemos el cociente de dos funciones, la llamamos racional. Un ejemplo de función racional es la siguiente: f(X) = X2-2/X-8
• Una característica de este tipo de funciones es que el valor de x que hace 0 a la función que esta en el denominador, no pertenece al dominio, en nuestro ejemplo es 8.

Actividad: en grupos la docente le asignará el concepto a analizar, busque un video corto explicando. Súbala al muro interactivo

 

FUNCIÓN LINEAL

La expresión general de una función lineal es y = mx + n. En esta expresión, m es la pendiente de la recta y n es el intercepto con el eje Y (ordenada al origen).

Características de las funciones lineales 

Su representación gráfica es una línea recta

Son funciones polinómicas de primer grado

La variable x es independiente, es decir, su valor no depende de ninguna otra variable

Tipos de funciones lineales y sus gráficas 

Si la pendiente es mayor a cero, la recta es creciente.

Si la pendiente es igual a cero, la recta es constante.

Si la pendiente es menor a cero, la recta es decreciente

PENDIENTE. GRADO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA

 
La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje horizontal, también conocido como el eje de las abscisas. Esto significa que indica la cantidad en que se incrementa o disminuye el valor de la variable y, cuando la x aumenta una unidad. Se denota con la letra m.
 
La pendiente de una recta es la tangente del ángulo (alfa) que forma la recta con la dirección positiva del eje de abscisas.
 

Si m>0 la recta es creciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje x es agudo.

 
 

Si m<0 la recta es decreciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje x es obtuso.
 

Si m=0 la recta es horizontal y ángulo que forma la recta con el eje x es cero.
 

 
Si m= indeterminado (infinito) la recta es vertical y ángulo que forma la recta con el eje  es de 90°.
 

 
Si se tienen diferentes escalas de medición en cada eje, el ángulo no es un valor significativo para quien emplea rectas que representan un fenómeno, por lo que es más útil definir la pendiente de una recta como la diferencia de desplazamientos sobre el eje  dividido por la diferencia de desplazamientos sobre el eje  para dos diferentes puntos en una recta.
 

Observamos:

https://www.geogebra.org/classic?lang=es-AR

EJERCITACION:

Calculamos la pendiente de la recta: has click

Calculamos la ecuación de la recta y realizamos una gráfica con dos puntos: has click

Respuesta a los ejercicios:

FUNCIÓN CUADRÁTICA

La función cuadrática es una función polinómica de orden11 2. Su forma completa es la siguiente:

Donde el primer término (ax2) se lo denomina término cuadrática, el segundo (bx) término lineal y el último (c) término independiente.

Donde a, b y c son constantes, que pueden tomar cualquier valor, teniendo en cuenta que los coeficiente b y c pueden ser iguales a cero, pero a nunca puede serlo (a=0),pues dejaría de ser cuadrática.

También tenemos que tener en cuenta que las siguientes no son funciones cuadráticas, pese que lo parecen.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA: LA PARÁBOLA

ACTIVIDAD:

Represente gráficamente las funciones propuestas a continuación , realizando previamente las tablas de valores:

a. y=x2    (dar valores a x=0, 1, 2, 3,-1,-2,-3)

b.  y= -1/2 x2  (dar valores a x=0,2,4,-2,-4)

c.  y= x2- 2x (dar valores a x=0, 1, 2, 3,4,-1,-2)

d.  y= x2 + 2   (dar valores a x=0, 1, 2, -1,-2)

e.  y= 2x2 + 4x - 7  (dar valores a x=0, 1, 2,-1,-2 ,-3, -4)

f. y= -3x2 + 12x - 5  (dar valores a x=0, 1, 2, 3, 4)

Analizamos sus gráficos

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Este gráfico muestra los puntos notables de la gráfica. Ellos son:

· Sentido de las ramas de la parábola, para abajo o para arriba.

· Intersección con el eje de y.

· Intersecciones con el eje de las x.

· Vértice.

· Eje de simetría.

Analicemos cada uno de ellos, empezaremos por el sentido de las ramas de la parábola:

La parábola de una función cuadrática será hacia arriba, como el mostrado, si a es a es positivo. 

En caso de ser a negativo, las ramas son hacia abajo.

La intersección con el eje y, o sea donde la gráfica corta el eje y, se produce cuando: x =0

La función cuadrática para este valor vale: y = a.02 + b.0 + c

Por lo tanto la función vale, cuando corta el eje y: Y = c

El cruce del eje de las x, se da cuando la función es igual a cero. Los puntos donde la función cruza el eje de las abscisas son aquellos para cuales los valores de x hacen cero a la función.

Se calculan con las siguientes ecuaciones:

La función puede cruzar en dos puntos al eje de las x, o sea hay dos valores que hacen cero a la función cuadrática, puede existir uno solo o ninguno, las próximas gráficas muestran estos casos:

El último caso se da cuando: b2 es menor que 4ac

Al ser negativa, no existe raíz cuadrada de ese tipo de número.

El vértice tiene la característica que si las ramas son hacia arriba (a positiva), el valor del x vértice hace a la función que tome su mínimo valor.

En cambio si es negativo el valor de x del vértice hace que la función tome el máximo valor.

El vértice queda definido por un par de puntos ordenados (xV, yV). Que llamaremos x del vértice x y del vértice y.

Los mismos se obtienen primero conociendo el valor de xV.

Luego con este valor valuamos la función que nos dará Yv.

                              Yv = f(Xv)

Siendo Yv el máximo o el mínimo de la función dependiendo de si a es positiva o es negativa. 

El eje de simetría es el valor de x que equidista de las dos raíces de la función cuadrática y pasa por Xv.

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