SEMANA 8- LIMITES

 

CONCEPTO DE LÍMITE:

El límite de una función es un concepto fundamental en el cálculo que se utiliza para describir el comportamiento de una función cuando la variable independiente se acerca a un valor específico.

El límite de una función f(x) cuando x se acerca a un valor a se denota como:

         lim f(x) = L

x→a

y se lee como "el límite de f(x) cuando x se acerca a a es L".

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• Concepto fundamental:

  Un límite es la base de todo el cálculo, especialmente en el estudio de la continuidad y la derivabilidad de funciones. 

• Tendencia, no valor:

  El límite no es el valor que toma la función en un punto específico, sino el valor al que la función "tiende" a medida que se aproxima a ese punto. 

• Aproximación:

  Un límite describe el comportamiento de una función cuando su variable independiente se acerca a un valor determinado, ya sea desde la derecha (limites laterales) o desde la izquierda. 
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• Interpretación
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  El límite de una función se puede interpretar de la siguiente manera:

  
  

  - Si el límite existe, significa que la función se acerca a un valor específico L cuando x se acerca a a.

  - Si el límite no existe, significa que la función no se acerca a un valor específico cuando x se acerca a a.

Importancia

El límite de una función es importante porque se utiliza en muchos conceptos del cálculo, como:

- La derivada: La derivada de una función se define como el límite de la razón de cambio de la función cuando la variable independiente se acerca a un valor específico.

- La integral: La integral de una función se define como el límite de la suma de áreas de rectángulos que se acercan a la curva de la función.

En resumen, el límite de una función es un concepto fundamental que se utiliza para describir el comportamiento de una función cuando la variable independiente se acerca a un valor específico. Es importante entender este concepto para avanzar en el cálculo y otras áreas de la matemática.

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¿Qué es límite?

El concepto de límite proviene del latín limes, que significa “borde”, y se suele utilizar para marcar el fin de algo. 

Es un concepto de uso frecuente y tiene diferentes acepciones y significados de acuerdo al ámbito de aplicación.

En primer lugar, desde la geografía, se llama “límite” a la línea real o imaginaria que separa dos territorios contiguos, como países, continentes o provincias. Estos límites geográficos pueden estar establecidos de forma arbitraria, a través de convenciones políticas entre las autoridades de dichos territorios, o pueden fijarse usando un accidente geográfico natural, como un río, un mar o una cordillera. Por ejemplo: El límite entre el territorio de Uruguay y el de Argentina es el río Uruguay y el Río de la Plata.

El concepto de “limite” se usa también para establecer el punto máximo al que puede llegar algo o alguien, es decir, es la condición de extremo (de fuerza física o de tiempo, por ejemplo), que no es posible sobrepasar. Por ejemplo: El plazo límite de entrega del trabajo práctico es este jueves. En los casos de peligro extremo, en los que existe una gran incertidumbre sobre lo que ocurrirá, se suele decir que se está ante una situación límite.

Además, en el ámbito de las relaciones humanas (especialmente dentro de los vínculos entre adultos y niños), el término “límite” se usa para designar aquellas restricciones que se establecen para que el niño aprenda a desenvolverse según las normas sociales imperantes. Por ejemplo: El padre le puso un límite a su hijo y no le prestó su teléfono móvil.

Otros usos del término “límite”

El concepto de límite es usado en muchos campos y disciplinas. Entre los que se destacan:

• En la psicología. Se usa para identificar las represiones que tienen las personas hacia su interior por alguna causa impuesta o personal. Es por eso que, por ejemplo, cuando se dice que alguien “no tiene límites”, se está diciendo que no se rige por las normas de convivencia que –se supone– nos sirven a todos.
• En las matemáticas. Se usa en el análisis matemático para hacer referencia a la magnitud fija a la que se acercan los términos de una determinada secuencia.
• En el comercio. Se habla de sociedad de responsabilidad limitada (SRL) o sociedad limitada (SL) para referirse al tipo de sociedad mercantil compuesta por un número limitado de socios que participan de igual valor y en la cual la responsabilidad está limitada al capital
• En la publicidad. Se habla de promociones por tiempo limitado (o, menos frecuentemente, por tiempo ilimitado) cuando estas se extienden en un lapso determinado de tiempo.

LÍMITE EN UN PUNTO Y A PARTIR DE GRÁFICAS

Actividades:

1- Grafique la función f(x)= x + 1 y busca el límite cuando x tienda a 2.

2- Grafica la función f(x)=5 y busca el límite cuando x tiende a 3

3- Grafica la función f(x)= x2 y busca el límite cuando x tiende a -4.

4- Calcula el limite cuando x tiende a 1 de la función x-3. Grafica

5- Calcule sin graficar los limites de las siguientes funciones: 

f(x)=12 cuando x tiende a 9

f(x)= 8x cuando x tiende a 7 y 

f(x)= (3x+2) cuando x tiende a -5

Rtas: 12, 56 y -13

CASOS DE FACTOREO

EJERCITAMOS

RACIONALIZACIÓN

Racionalizar consiste en quitar los radicales del denominador, es decir quitar las raíces del denominador. 

Es útil para el cálculo de operaciones, como por ejemplo, resta o la suma de fracciones.

Los casos más frecuentes de racionalización son: 

1) Racionalizar fracciones que contengan una raíz cuadrada. 

2) Racionalizar fracciones que contengan una raíz enésima. 

3) Racionalizar fracciones que contengan la suma o resta de dos o más raíces cuadradas o bien la suma o resta de un número natural con una raíz.

Tarea: 

1-Grafique la función f(x) = 1/x y calcule el limite cuando x tiende a 0

2-Grafica en la misma gráfica las funciones  f(x)= 3 con dominio y f(x)=x tal que x pertenece a los reales iguales o menores a 2 1/2 x +4 con dominio x/x pertenece a los reales y x es mayor o igual a 2.Busca el límite en el punto -2 (x=-2) y en el punto 6 (x=6).